Home » 2016 » August

Monthly Archives: August 2016

Uproblematisk Champions League Trekning

Trekningen til 2016/17 sesongen av Champions League ble gjennomført i dag. Det mest spennende denne gangen er at Manchester City manager Pep Guardiola skal møte sitt gamle lag Barcelona.

For fire år siden ble det betydelig mer oppmerksomhet rundt trekningen til 16-dels finalene. Det som skjedde den gangen var at en prøvetrekning ble gjennomført (og offentliggjort) dagen før den offisielle trekningen. På den offisielle trekningen ble det akkurat samme resultat som dagen før! Dette førte til stor oppstandelse. CMores ekspert på fotball mente at det var en så liten sannsynlighet for at samme trekning skulle skje to ganger at han ikke trodde det skyldtes tilfeldigheter.

La oss se på tilfeldighetene i en slik trekning, nærmere bestemt 16-dels finalene i 2012.

Det er 16 lag med i trekningen. Den første begrensningen er at to lag fra samme land ikke kan møtes. Det er i alt 120 ulike kombinasjoner av to lag til en kamp fra i alt 16 lag.

Landbegrensning

Lagene kom fra følgende land:

Vi beregner antall mulige land-kombinasjoner, og deler inn i hjemmeland og borteland.

Er hjemmeland og borteland like, kan de ikke spille mot hverandre.

Gitt denne landbegrensningen har vi 11 kampkombinasjoner som ikke er tillatt.

Begrensning på gruppetilhørighet

Den neste begrensningen går på gruppetilhørighet. Fra det innledende gruppespillet er det 8 grupper. To lag fra samme gruppe kan ikke møtes.

Vi beregner først mulige kombinasjoner av gruppetilhørighet.

Gitt denne gruppe begrensningen har vi 8 kampkombinasjoner som ikke er tillatt.

Begrensning på posisjon i gruppen

Den siste begrensningen er posisjon i gruppen etter at gruppespillet er ferdig. Ingen gruppe 1’ere kan møtes. Gruppe 2’erne er gitt verdien 0.

Gitt denne siste plasseringsbegrensningen har vi 28 kampkombinasjoner som ikke er tillatt.

Mulige kampkombinasjoner

Gitt de ulike begrensningene, la oss se på antall mulige kampkombinasjoner.

Det viser seg at for disse lagene, så er det 77 kampkombinasjoner som kan spilles. I dataene er det kun mulig å spille en kamp dersom det står 0 i “mulig.kamp”.

hjemmelag bortelag likeland sammegruppe begge.er.no.1 mulig.kamp
V1 Valencia PSG 0 0 0 0
V2 Valencia Real Madrid 1 0 0 1
V3 Valencia ManU 0 0 0 0
V4 Valencia AC Milan 0 0 0 0
V5 Valencia Barcelona 1 0 0 1
V6 Valencia Shaktar 0 0 0 0
V7 Valencia Borrussia D 0 0 0 0
V8 Valencia Arsenal 0 0 0 0
V9 Valencia Bayern M 0 1 0 1
V10 Valencia Porto 0 0 0 0
V11 Valencia Malaga 1 0 0 1
V12 Valencia Celtic 0 0 0 0
V13 Valencia Juventus 0 0 0 0
V14 Valencia Galatasaray 0 0 0 0
V15 Valencia Schalke 0 0 0 0
V16 PSG Real Madrid 0 0 0 0
V17 PSG ManU 0 0 1 1
V18 PSG AC Milan 0 0 0 0
V19 PSG Barcelona 0 0 1 1
V20 PSG Shaktar 0 0 0 0
V21 PSG Borrussia D 0 0 1 1
V22 PSG Arsenal 0 0 0 0
V23 PSG Bayern M 0 0 1 1
V24 PSG Porto 0 1 0 1
V25 PSG Malaga 0 0 1 1
V26 PSG Celtic 0 0 0 0
V27 PSG Juventus 0 0 1 1
V28 PSG Galatasaray 0 0 0 0
V29 PSG Schalke 0 0 1 1
V30 Real Madrid ManU 0 0 0 0
V31 Real Madrid AC Milan 0 0 0 0
V32 Real Madrid Barcelona 1 0 0 1
V33 Real Madrid Shaktar 0 0 0 0
V34 Real Madrid Borrussia D 0 1 0 1
V35 Real Madrid Arsenal 0 0 0 0
V36 Real Madrid Bayern M 0 0 0 0
V37 Real Madrid Porto 0 0 0 0
V38 Real Madrid Malaga 1 0 0 1
V39 Real Madrid Celtic 0 0 0 0
V40 Real Madrid Juventus 0 0 0 0
V41 Real Madrid Galatasaray 0 0 0 0
V42 Real Madrid Schalke 0 0 0 0
V43 ManU AC Milan 0 0 0 0
V44 ManU Barcelona 0 0 1 1
V45 ManU Shaktar 0 0 0 0
V46 ManU Borrussia D 0 0 1 1
V47 ManU Arsenal 1 0 0 1
V48 ManU Bayern M 0 0 1 1
V49 ManU Porto 0 0 0 0
V50 ManU Malaga 0 0 1 1
V51 ManU Celtic 0 0 0 0
V52 ManU Juventus 0 0 1 1
V53 ManU Galatasaray 0 1 0 1
V54 ManU Schalke 0 0 1 1
V55 AC Milan Barcelona 0 0 0 0
V56 AC Milan Shaktar 0 0 0 0
V57 AC Milan Borrussia D 0 0 0 0
V58 AC Milan Arsenal 0 0 0 0
V59 AC Milan Bayern M 0 0 0 0
V60 AC Milan Porto 0 0 0 0
V61 AC Milan Malaga 0 1 0 1
V62 AC Milan Celtic 0 0 0 0
V63 AC Milan Juventus 1 0 0 1
V64 AC Milan Galatasaray 0 0 0 0
V65 AC Milan Schalke 0 0 0 0
V66 Barcelona Shaktar 0 0 0 0
V67 Barcelona Borrussia D 0 0 1 1
V68 Barcelona Arsenal 0 0 0 0
V69 Barcelona Bayern M 0 0 1 1
V70 Barcelona Porto 0 0 0 0
V71 Barcelona Malaga 1 0 1 2
V72 Barcelona Celtic 0 1 0 1
V73 Barcelona Juventus 0 0 1 1
V74 Barcelona Galatasaray 0 0 0 0
V75 Barcelona Schalke 0 0 1 1
V76 Shaktar Borrussia D 0 0 0 0
V77 Shaktar Arsenal 0 0 0 0
V78 Shaktar Bayern M 0 0 0 0
V79 Shaktar Porto 0 0 0 0
V80 Shaktar Malaga 0 0 0 0
V81 Shaktar Celtic 0 0 0 0
V82 Shaktar Juventus 0 1 0 1
V83 Shaktar Galatasaray 0 0 0 0
V84 Shaktar Schalke 0 0 0 0
V85 Borrussia D Arsenal 0 0 0 0
V86 Borrussia D Bayern M 1 0 1 2
V87 Borrussia D Porto 0 0 0 0
V88 Borrussia D Malaga 0 0 1 1
V89 Borrussia D Celtic 0 0 0 0
V90 Borrussia D Juventus 0 0 1 1
V91 Borrussia D Galatasaray 0 0 0 0
V92 Borrussia D Schalke 1 0 1 2
V93 Arsenal Bayern M 0 0 0 0
V94 Arsenal Porto 0 0 0 0
V95 Arsenal Malaga 0 0 0 0
V96 Arsenal Celtic 0 0 0 0
V97 Arsenal Juventus 0 0 0 0
V98 Arsenal Galatasaray 0 0 0 0
V99 Arsenal Schalke 0 1 0 1
V100 Bayern M Porto 0 0 0 0
V101 Bayern M Malaga 0 0 1 1
V102 Bayern M Celtic 0 0 0 0
V103 Bayern M Juventus 0 0 1 1
V104 Bayern M Galatasaray 0 0 0 0
V105 Bayern M Schalke 1 0 1 2
V106 Porto Malaga 0 0 0 0
V107 Porto Celtic 0 0 0 0
V108 Porto Juventus 0 0 0 0
V109 Porto Galatasaray 0 0 0 0
V110 Porto Schalke 0 0 0 0
V111 Malaga Celtic 0 0 0 0
V112 Malaga Juventus 0 0 1 1
V113 Malaga Galatasaray 0 0 0 0
V114 Malaga Schalke 0 0 1 1
V115 Celtic Juventus 0 0 0 0
V116 Celtic Galatasaray 0 0 0 0
V117 Celtic Schalke 0 0 0 0
V118 Juventus Galatasaray 0 0 0 0
V119 Juventus Schalke 0 0 1 1
V120 Galatasaray Schalke 0 0 0 0

Hva er sannsynligheten for to like trekninger?

I trekningen er det 16 lag, noe som gir 120 ulike kampkombinasjoner som det skal trekkes 8 kamper fra. Lag fra samme land kan ikke spille mot hverandre. To lag fra samme gruppe kan ikke møtes, og ingen gruppe 1’ere kan møtes. Disse begrensningene gjør at det til sammen er 43 kampkombinasjoner som ikke kan spilles. Det gjenstår da 77 mulige kampkombinasjoner som det skal trekkes 8 kamper til.

Sannsynligheten for å trekke et unikt sett av 8 kamper fra 77 mulige kombinasjoner er da 8/77, eller 10.39%. Sannsynligheten for å trekke samme unike 8 kampkombinasjon to ganger etter hverandre er da 8/77 x 8/77, eller 1.08%, altså ikke helt usannsynlig. Sjansen for at en av dine lottorekker skal gå inn på lørdag er 0.0000186%. Det er lite det!

374 total views, no views today

90% av lærerstudentene strøk i matte ved UiT, men er UiT dårligere enn alle de andre?

“Staten brukte ti millioner på mattekurs. På enkelte skoler strøk over 90 prosent.”

Dette er overskriften i Aftenposten i dag (9/8/2016). Bare 3 av 4 potensielle lærerstudenter på landsbasis bestod forkurset i matematikk. Alle med karakter 3 eller dårligere i matematikk på videregående måtte bestå forkurset for å kunne starte på lærerutdanningen.

I lokalavisene har mitt eget universitet (UiT) fått gjennomgå. Fra Nordlys kan vil leste at: “9 av 10 lærerstudenter i nord klarte ikke matematikkeksamen”, mens avisa iTromsø skriver: “90 prosent strøk på mattekurset ved UiT”.

Disse resultatene er uten tvil svært begredelige. Men det som er interessant fra et analytisk ståsted er om det er signifikante forskjeller i strykprosenten når en sammenligner mellom de ulike lærerstedene.

For å gjøre en lang historie kort, så er det kun forskjellen i strykprosent mellom HiOA – Nord.Nesna på 31 prosent som er signifikant forskjellig. UiT er dermed ikke dårligere enn alle andre lærersteder når en tar hensyn til variasjonen i dataene.

Ingen av de andre 170 kontrastene er signifikant forskjellig. En kontrast er når vi tar to og to lærersteder av gangen og sammenligner strykprosenten mellom disse. Vi kan dermed konkludere med at strykprosenten på landsbasis var 75.7 prosent. Alle lærerstedene var like dårlige, med ett unntak altså.

Hvordan har vi så kommet frem til dette resultatet? Aftenposten har vært så omtenksomme at de har åpnet for muligheten til å laste ned dataene nederst i artikkelen sin.

Her er tabellen med strykprosenter per lærersted, kilde: lenke i Aftenposten.

Lærested Bestått Ikke.Bestått Totalt Andel.ikke.bestått Andel.Bestått
1 HiB 15 24 39 61.500 38.500
2 HiHm 2 31 33 93.900 6.100
3 HiOA 22 49 71 69 31
4 HiSF 4 9 13 69.200 30.800
5 HiØ 5 18 23 78.300 21.700
6 HSH 5 16 21 76.200 23.800
7 HSN.BV 8 27 35 77.100 22.900
8 HSN.T 4 15 19 78.900 21.100
9 HVO 4 11 15 73.300 26.700
10 NLA 5 9 14 64.300 35.700
11 Nord.Bodø 1 10 11 90.900 9.100
12 Nord.Levanger 4 19 23 82.600 17.400
13 Nord.Nesna 0 3 3 100 0
14 NTNU 5 28 33 84.800 15.200
15 UiA 12 22 34 64.700 35.300
16 UiO 6 26 32 81.300 18.800
17 UiS 13 31 44 70.500 29.500
18 UiT.Alta 1 1 2 50 50
19 UiT.Tromsø 2 18 20 90 10

Se vi på dataene i en figur, så ser vi at det er stor variasjon i andelen stryk (ikke bestått).

plot of chunk unnamed-chunk-2

Skal en teste om strykprosenten (en proporsjon) er lik mellom læringssteder kan en benytte en kji-kvadrattest.

Formelt så definerer vi nullhypotesen som at det ikke er forskjell i strykprosenten (p) mellom n (i vårt tilfelle 19) populasjoner som:

H_{0}: p_{1} = p_{2} = ... = p_{n}. Den alternative hypotesen er: H_{1}: ikke alle p_{i} er like (i=1, 2, …, n).

Test statistikken er kji-kvadratfordelt, og er i R funksjonen prop.test(). Analysen på dataene gir:

På et 5% signifikansnivå ser vi at p-verdien er større enn 0.05, vi beholder dermed nullhypotesen. Alle strykprosentene er like.

Vi kan gå videre i analysen ved å gjøre en Marascuillo prosedyre for å sammenligne to og to proporsjoner. Prosedyren er som følger:

Anta at vi har utvalg med utvalgsstørrelse n_{i} (i=1, 2, …, k) fra k populasjoner. Det første vi gjør er å beregne kontrastene p_{i} - p_{j} (for i \neq j) for alle k(k-1)/2 kontrastpar. Vi velger et signifikansnivå (\alpha = 0.05) og beregner kritisk verdi, CV_{ij} som følger:

    \[CV_{ij}=\sqrt{\chi ^{2}_{1-\alpha , k-1}}\sqrt{\frac{p_{i}(1-p_{i})}{n_{i}}+\frac{p_{j}(1-p_{j})}{n_{j}}}\]

I de tilfellene der absoluttverdien av kontrasten er større enn kritisk verdi, har vi en signifikant forskjell på et 5% nivå.

R koden som ble benyttet til denne analysen er som følger:

971 total views, no views today